有限时间破产概率的模拟

未来 10 年（或 100 年）里保险公司破产的概率是多少？理赔是厚尾的 Pareto、没有调节系数时怎么算？

IFoA CM2IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 2 条
覆盖的考试公式: 1 个
参数: 13 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

盈余过程

损失的分布

尺度参数 θ元

指数、Pareto、伽马、威布尔

0 元100,000 万元

每年的理赔次数 λ

0.0011,000

保费附加率 θ

-0.510

初始资本 u

01,000,000 万

看多少年年

0.1 年1,000 年

模拟的路径数

1,00010 万

随机数种子

0214,748.36 万

当前选项用不到的 4 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数模拟 20000 条路径（种子 2026）：理赔指数分布 Exp(θ = 1)，λ = 1，θ = 0.25

输出

用时 2.4 秒 · 缓存 · 11/14 22:43 运行

每年的保费 c: 1.25
100 年内的破产概率: 29.02%
标准误: 0.00320924
破产路径的平均破产时间: 17.3263年
无限时间的破产概率（指数理赔的精确值，连续时间）: 29.43%

破产概率随年数的累积

ψ(u, t)（模拟）
无限时间 ψ(u)（精确）

纵轴：破产概率

指数理赔的无限时间破产概率（连续时间，精确值）是 0.294304，有限时间的结果应不超过它（离散时间更小）。

各年数内的破产概率by_time4 行 · 2 列

结果表各年数内的破产概率
年数	这么多年内破产的概率
10	0.1427
25	0.22605
50	0.26685
100	0.2902

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

2 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

上面这次运行的参数和这些题都不一样。点“代入这道题”，用题里的参数算一次。

第 1 条
平台算出的数对得上
闭式公式：指数理赔的无限时间破产概率 ψ(5) = 0.8·e^{−0.2·5} = 0.29430；500 年后还没破产却最终破产的概率可以忽略
参数损失的分布指数分布 Exp(θ)看多少年 500 年每年的理赔次数 λ 1保费附加率 θ 0.25盈余过程连续时间（每次理赔后检查，Cramér-Lundberg 模型）模拟的路径数 2 万尺度参数 θ 1 元初始资本 u 5其余用默认值
项标准答案平台算出
100 年内的破产概率psi 0.2943036 0.29765
说明：2 万条路径，标准误约 0.0032，误差放到 0.012
允许误差 0.012
第 2 条
平台算出的数对得上
闭式公式：1 年的离散时间破产概率 = Pr(S > u + P) = Σ_n e^{−1}/n!·Γ̄(n, 2.25)（复合泊松，指数理赔），另写程序算为 0.154956
参数损失的分布指数分布 Exp(θ)看多少年 1 年每年的理赔次数 λ 1保费附加率 θ 0.25盈余过程离散时间（每年年末检查，保费年初收，按利率计息）模拟的路径数 5 万尺度参数 θ 1 元初始资本 u 1其余用默认值
项标准答案平台算出
100 年内的破产概率psi 0.1549562 0.15252
说明：5 万条路径，标准误约 0.0016，误差放到 0.007
允许误差 0.007

项	标准答案	平台算出
100 年内的破产概率psi	0.2943036	0.29765

项	标准答案	平台算出
100 年内的破产概率psi	0.1549562	0.15252

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：13 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 19 行2.4 秒 · 缓存

1import json2from wi_actuarial.methods.ruin import simulation34result = simulation.simulation(5    mode="continuous",6    dist="exponential",7    mu=0,8    sigma=1,9    alpha=3,10    theta=1,11    lam=1,12    load=0.25,13    u=5,14    horizon=100,15    interest=0,16    n_paths=20000,17    seed=2026,18)19print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson：Insurance Risk and Ruin，第 7、8 章
IFoA CM2 课程：破产理论

覆盖的考试公式

RUN-001盈余过程与破产概率CM2CS2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

按固定种子模拟盈余过程：连续时间在每次理赔后检查，离散时间在每年年末检查（年初收保费、计息）。给出有限时间破产概率和标准误、破产概率随时间的累积曲线；指数理赔时附上无限时间的精确值作对照。

说明和限制

连续时间：保费连续收取，盈余只会在理赔发生的那一刻变成负数，所以只在理赔时检查。
离散时间：只在年末看一次，年中可能短暂为负但年末恢复，所以破产概率比连续时间小。
有限时间的破产概率随年数增加，趋于无限时间的破产概率。模拟只能给有限时间。
保费 c = (1 + θ)λE[X]。Pareto 的 α ≤ 1 时均值不存在，不能这样定保费。

数据

没有用平台数据：按输入的参数模拟

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

破产理论，还有 2 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“未来 10 年（或 100 年）里保险公司破产的概率是多少？理赔是厚尾的 Pareto、没有调节系数时怎么算？”