调节系数、Lundberg 上界和破产概率

初始资本 u、保费附加率 θ 时，保险公司最终破产的概率有多大？至少要多少初始资本才能把破产概率压到 1%？

IFoA CM2IFoA CS2按输入的参数计算

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 4 个
参数: 8 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

每次理赔的金额分布

指数、伽马的尺度参数 θ

0100,000 万

每年的理赔次数 λ

01,000 万

保费附加率 θ

0.00110

初始资本 u

01,000,000 万

目标破产概率%

反推初始资本

0%50%

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：理赔指数分布，均值 1，λ = 1，θ = 0.25

输出

用时 446 毫秒 · 11/14 22:23 运行

每年的保费 c: 1.25
调节系数 R: 0.2
破产概率 ψ(10)（精确值（指数理赔））: 10.83%
Lundberg 上界 e^{−R·10}: 0.135335
初始资本为 0 时的破产概率 ψ(0) = 1/(1+θ): 80%
R 的上界 2(c − λE[X])/(λE[X²]): 0.25
R 的下界 (1/M) ln(c/(λE[X]))（理赔有上限 M 时）: —
破产概率降到 0.01 要的初始资本: 21.9101
按 Lundberg 上界保守估计要的初始资本: 23.0259
破产概率的算法: 精确值（指数理赔）

初始资本和破产概率

ψ(u)（精确值（指数理赔））
Lundberg 上界 e^{−Ru}

纵轴：破产概率

不同初始资本的破产概率by_capital6 行 · 3 列

结果表不同初始资本的破产概率
初始资本 u	破产概率 ψ(u)	Lundberg 上界
0	0.8	1
5	0.294304	0.367879
10	0.108268	0.135335
20	0.0146525	0.0183156
21.9101	0.01	0.0125
30	0.001983	0.00247875

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

闭式公式手算：R = 1 − 1/1.25 = 0.2；ψ(10) = 0.8·e^{−2}；Lundberg 上界 e^{−2}；ψ(0) = 1/(1 + θ)

参数每次理赔的金额分布指数分布 Exp(θ)，均值 θ每年的理赔次数 λ 1保费附加率 θ 0.25指数、伽马的尺度参数 θ 1初始资本 u 10其余用默认值

项	标准答案	这次算出
调节系数 RR	0.2	0.2
Lundberg 上界 e^{−R·10}bound	0.13533528	0.13533528
破产概率 ψ(10)（精确值（指数理赔））psi	0.10826823	0.10826823
初始资本为 0 时的破产概率 ψ(0) = 1/(1+θ)psi0	0.8	0.8

允许误差 1×10⁻⁹

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条
这次算出的数对得上
闭式公式手算：0.8 e^{−0.2u} = 0.01 → u = 5 ln 80 = 21.9101
参数每次理赔的金额分布指数分布 Exp(θ)，均值 θ每年的理赔次数 λ 1保费附加率 θ 0.25目标破产概率 1%指数、伽马的尺度参数 θ 1其余用默认值
项标准答案这次算出
破产概率降到 0.01 要的初始资本u_target 21.910133 21.910133
允许误差 0.00001
上面这次运行用的就是这道题的参数
第 3 条
平台算出的数对得上
独立求解（另写的程序，二分法）：e^R = 1 + 1.2R 的正根 0.35420；上界 2·0.2/1 = 0.4；下界 ln 1.2 = 0.18232
参数均匀分布的上限 b，或固定金额 b 1每次理赔的金额分布固定金额 b每年的理赔次数 λ 1保费附加率 θ 0.2其余用默认值
项标准答案平台算出
调节系数 RR 0.3541993 0.35419926
R 的下界 (1/M) ln(c/(λE[X]))（理赔有上限 M 时）R_lower 0.1823216 0.18232156
R 的上界 2(c − λE[X])/(λE[X²])R_upper 0.4 0.4
允许误差 0.000001
第 4 条
平台算出的数对得上
独立求解（另写的程序，二分法）：(1 − 0.5R)^{−2} = 1 + 1.25R 的正根
参数伽马的形状参数 α 2每次理赔的金额分布伽马分布 Gamma(α, θ)，均值 αθ每年的理赔次数 λ 1保费附加率 θ 0.25指数、伽马的尺度参数 θ 0.5其余用默认值
项标准答案平台算出
调节系数 RR 0.2733501 0.27335008
允许误差 0.000001

项	标准答案	这次算出
破产概率降到 0.01 要的初始资本u_target	21.910133	21.910133

项	标准答案	平台算出
调节系数 RR	0.3541993	0.35419926
R 的下界 (1/M) ln(c/(λE[X]))（理赔有上限 M 时）R_lower	0.1823216	0.18232156
R 的上界 2(c − λE[X])/(λE[X²])R_upper	0.4	0.4

项	标准答案	平台算出
调节系数 RR	0.2733501	0.27335008

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行446 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.ruin import adjustment_coefficient34result = adjustment_coefficient.adjustment_coefficient(5    claim="exponential",6    theta=1,7    alpha=2,8    b=2,9    lam=1,10    load=0.25,11    u=10,12    target=0.01,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Dickson：Insurance Risk and Ruin，第 7 章
IFoA CM2 课程：破产理论
Klugman、Panjer、Willmot：Loss Models破产理论

覆盖的考试公式

RUN-001盈余过程与破产概率CM2CS2
RUN-002调节系数与 Lundberg 不等式CM2
RUN-003指数理赔下的调节系数与破产概率CM2
RUN-004调节系数的上下界CM2

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

复合泊松盈余过程的调节系数 R（数值解）、Lundberg 上界 e^{−Ru}、调节系数的上下界；指数理赔给出破产概率的精确值，其他理赔给出 Cramér-Lundberg 近似；按目标破产概率反推初始资本。

说明和限制

理赔按泊松过程发生，金额独立同分布，保费连续收取。附加率 θ ≤ 0 时一定破产。
调节系数只在理赔金额的矩母函数存在时才有：Pareto、对数正态这类厚尾理赔没有调节系数，用 ruin.simulation 模拟。
非指数理赔的破产概率用 Cramér-Lundberg 近似 ψ(u) ≈ C·e^{−Ru}，C = θE[X]/(M′(R) − (1+θ)E[X])，u 大时才准。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

破产理论，还有 2 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“初始资本 u、保费附加率 θ 时，保险公司最终破产的概率有多大？至少要多少初始资本才能把破产概率压到 1%？”