最优奖惩系数（Norberg 准则）

在给定的等级和升降规则下，各级的保费系数取多少最能反映真实风险？要不要满足财务平衡？

SOA ASTAMIFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 3 条
覆盖的考试公式: 0 个
参数: 6 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

奖惩系统（等级和规则）

剩余异质性 Θ ~ Gamma(a, a) 的参数 a

0.05100

先验分类的年出险频率 λ_g3 个数 · 次/年

最小 0.1最大 0.5均值 0.3

1–20 个数，每个在 0.0001–10 之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

各类的占比 w_g3 个数

最小 0.1最大 0.6均值 0.3333

1–20 个数，每个在 0–100 万之间。一行一个，可以直接粘贴一列。

当前选项用不到的 2 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：马来西亚：6 级，无出险升 1 级，出险回到 0 级（−1/Top）

输出

用时 889 毫秒 · 11/14 22:21 运行

平均先验频率 E[Λ]: 0.2次/年
不加约束的 E[r_L]: 0.843205
加约束的 E[r_L]: 1
拉格朗日乘子 α: -0.0155381
最高优待级的占比: 0.518741

各级的最优保费系数

加约束
不加约束

纵轴：系数

各等级的最优系数levels6 行 · 5 列

结果表各等级的最优系数
等级	平稳占比 Pr(L=ℓ)	最优系数（E[r] = 1）	最优系数（不加约束）	没有异质性时的占比
0 级	0.162192	1.57576	1.49589	0.181269
1 级	0.112932	1.31543	1.22142	0.148411
2 级	0.0848535	1.15496	1.04772	0.121508
3 级	0.0668605	1.046	0.926331	0.0994827
4 级	0.0544206	0.967377	0.836043	0.0814495
5 级	0.518741	0.723455	0.513379	0.367879

各先验类别的平稳分布mixing3 行 · 7 列

结果表各先验类别的平稳分布
先验类别	0 级	1 级	2 级	3 级	4 级	5 级
λ = 0.1	0.0922695	0.0789042	0.0681005	0.05926	0.0519467	0.649519
λ = 0.3	0.239274	0.157044	0.109576	0.0800192	0.0605333	0.353553
λ = 0.5	0.350481	0.184761	0.111205	0.0729875	0.0509262	0.22964

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

3 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 15.5.1–15.5.3：马来西亚规则，λ = 0.1、0.3、0.5，占比 0.6、0.3、0.1，a = 1.5；Pr(L) 和不加约束的系数，E(r) = 0.8432052

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
不加约束的 E[r_L]mean_r_unconstrained	0.8432052	0.84320519
平稳占比 Pr(L=ℓ)表 levels · 第 1 行	0.1621921	0.16219208
最优系数（不加约束）表 levels · 第 1 行	1.4958885	1.4958885
最优系数（不加约束）表 levels · 第 4 行	0.92633112	0.9263311
平稳占比 Pr(L=ℓ)表 levels · 第 6 行	0.5187414	0.51874142
最优系数（不加约束）表 levels · 第 6 行	0.5133785	0.51337854

允许误差 0.000002

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 2 条

这次算出的数对得上

重新计算（两种方法）：Loss Data Analytics 第 2 版表 15.5 的设定（马来西亚规则，λ = 0.1、0.3、0.5，占比 0.6、0.3、0.1，a = 1.5），拉格朗日的闭式解和 scipy 的 SLSQP 数值优化（积分用 scipy.integrate.quad）都得到 157.58%、131.54%、115.50%、104.60%、96.74%、72.35%

参数：全部用默认值

项	标准答案	这次算出
加约束的 E[r_L]mean_r	1	1
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 1 行	1.575761	1.5757612
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 2 行	1.315432	1.3154324
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 3 行	1.154961	1.1549614
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 4 行	1.045997	1.0459969
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 5 行	0.967377	0.96737702
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 6 行	0.723455	0.72345508

说明：书里表 15.5 的约束系数是 131.99%、127.33%、120.64%、113.93%、107.79%、78.06%。这组数的 E[r] = 1，但 0 级比不约束的系数低、5 级比不约束的高，单个拉格朗日乘子做不到，和书里写的目标函数不一致。同样的公式在表 15.6（巴西规则）上和书一致

允许误差 0.000002

上面这次运行用的就是这道题的参数

第 3 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版表 15.6：7 级 −1/+1，Pr(L) 3.28%…75.74%，约束系数 234.94%…85.89%，不约束 228.65%…61.74%，E(r) = 78.97%

参数奖惩系统巴西：7 级，无出险升 1 级，每次出险降 1 级（−1/+1）其余用默认值

项	标准答案	平台算出
不加约束的 E[r_L]mean_r_unconstrained	0.7897	0.78970134
平稳占比 Pr(L=ℓ)表 levels · 第 1 行	0.0328	0.0328533
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 1 行	2.3494	2.3492308
最优系数（不加约束）表 levels · 第 1 行	2.2865	2.2862964
平稳占比 Pr(L=ℓ)表 levels · 第 7 行	0.7574	0.75748545
最优系数（E[r] = 1）表 levels · 第 7 行	0.8589	0.8589335
最优系数（不加约束）表 levels · 第 7 行	0.6174	0.6174763

说明：书里的数取到 0.01%，和这里（以及 scipy.integrate.quad 独立重算的）结果差 0.02 个百分点以内：例如 6 级占比 75.749%，书 75.74%

允许误差 0.0003

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：6 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 12 行889 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.bonus_malus import optimal_relativities34result = optimal_relativities.optimal_relativities(5    system="malaysia",6    n_classes=6,7    penalty=1,8    a=1.5,9    lam_classes=[0.1, 0.3, 0.5],10    weights=[0.6, 0.3, 0.1],11)12print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）15.5 BMS and Premium Rating
Norberg (1976) A credibility theory for automobile bonus systems
Tan、Li、Li、Balasooriya (2015) Optimal relativities and transition rules of a bonus-malus system

这个方法算什么

先验分类的频率 λ_g 和剩余异质性 Θ ~ Gamma(a, a)，算平稳时各级的占比，以及不加约束和加 E[r_L] = 1 约束的最优系数。

说明和限制

Gamma(a, a) 的积分用 120 个节点的广义 Gauss-Laguerre 求积算。a 很小（异质性很大）时可以把节点加多核对。
加约束的系数让各级保费按平稳占比加权后正好等于先验保费；不加约束的系数平均低于 1，因为分类已经解释了一部分风险。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

奖惩系统，还有 2 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“在给定的等级和升降规则下，各级的保费系数取多少最能反映真实风险？要不要满足财务平衡？”