奖惩系统的转移矩阵和平稳分布

按奖惩规则，保单一年后在各级的概率是多少？长期各级占多少，平均保费稳定在多少，要几年才稳定？

SOA ASTAMIFoA CS2IFoA SP8按输入的参数计算

对过的标准答案: 4 条
覆盖的考试公式: 0 个
参数: 8 个
开源库: 2 个

01当场运行

改一个参数，当场重算

打开页面时用默认参数算了一次。改一个参数，停一下，结果就会重算。

输入

奖惩系统

每年的期望出险次数 λ次/年

0.001 次/年5 次/年

基础保费元

没有优待时

1 元100,000 万元

起始分布

演变的年数年

1 年100 年

当前选项用不到的 3 个参数已隐藏，换了选项会显示出来。

没有用数据：按输入的参数计算

按输入的参数计算：巴西：7 级，无出险升 1 级，每次出险降 1 级（−1/+1）

输出

用时 816 毫秒 · 11/14 22:45 运行

等级数: 7级
无出险的概率 e^{−λ}: 90.48%
平稳时的平均保费: 656.523元
平稳时的平均保费系数: 0.656523
平稳时最高优待级的占比: 0.889484
总变差小于 0.01 的年数: 12年

平稳分布

纵轴：概率

平稳时的平均保费是基础保费的 65.7%。系统只有优待、没有加费时，平均保费低于基础保费，财务上不平衡。

逐年的等级分布和平均保费evolution20 行 · 10 列

结果表逐年的等级分布和平均保费
年	平均保费（元）	总变差	0 级	1 级	2 级	3 级	4 级	5 级	6 级
1	766.865	1.26192	0.0278804	0.142857	0.142857	0.142857	0.142835	0.142189	0.258525
2	737.597	1.05381	0.0169389	0.0388219	0.142857	0.142869	0.143297	0.152635	0.362581
3	713.117	0.846595	0.0059974	0.0289218	0.0487275	0.142974	0.144725	0.162468	0.466186
4	693.808	0.641307	0.00357367	0.010505	0.0397873	0.057991	0.146178	0.173134	0.56883
5	679.178	0.436253	0.00153547	0.0071188	0.0154422	0.0500969	0.0707118	0.183737	0.671358
6	669.269	0.231524	0.000903849	0.00302467	0.0113245	0.0213034	0.0649921	0.12473	0.773722
7	664.002	0.153063	0.000430389	0.00194923	0.00498021	0.0168085	0.0340626	0.128817	0.812952
8	660.528	0.0746723	0.000252493	0.000921789	0.00346123	0.00829378	0.0305427	0.10438	0.852148
9	658.832	0.0479634	0.000129351	0.000584237	0.00174166	0.00649621	0.0208045	0.104742	0.865502
10	657.743	0.0231418	0.00007715	0.000307621	0.00122962	0.00406278	0.0192711	0.0971386	0.877913
11	657.218	0.0144415	0.00004308	0.000202788	0.000751108	0.0034282	0.0164375	0.0968741	0.882263
12	656.89	0.00704779	0.00002751	0.000125364	0.000585988	0.00273828	0.015859	0.0947037	0.88596
13	656.73	0.00428538	0.00001778	0.00009312	0.000450575	0.00252727	0.0150551	0.0945148	0.887341
14	656.633	0.00212767	0.00001312	0.00007099	0.000398648	0.00233136	0.0148533	0.0939124	0.88842
15	656.584	0.00126552	0.0000103	0.00006115	0.000359894	0.00226355	0.0146264	0.0938274	0.888851
16	656.556	0.000639148	0.000008897	0.00005475	0.00034382	0.00220764	0.0145593	0.0936611	0.889164
17	656.541	0.000373341	0.000008071	0.00005176	0.000332639	0.00218632	0.0144951	0.0936288	0.889297
18	656.533	0.000191402	0.000007653	0.0000499	0.000327716	0.00217026	0.0144735	0.0935827	0.889388
19	656.528	0.000110183	0.00000741	0.000049	0.00032447	0.00216366	0.0144552	0.0935713	0.889429
20	656.526	0.0000572	0.000007285	0.00004845	0.000322974	0.00215902	0.0144484	0.0935585	0.889455

各等级的平稳分布和保费stationary7 行 · 4 列

结果表各等级的平稳分布和保费
等级	保费系数	平稳概率	保费（元）
0 级	1	0.00000713	1,000
1 级	0.9	0.00004784	900
2 级	0.85	0.000320988	850
3 级	0.8	0.00215421	800
4 级	0.75	0.014438	750
5 级	0.7	0.0935479	700
6 级	0.65	0.889484	650

等级的转移矩阵transition7 行 · 8 列

结果表等级的转移矩阵
从	到 0 级	到 1 级	到 2 级	到 3 级	到 4 级	到 5 级	到 6 级
0 级	0.0951626	0.904837	0	0	0	0	0
1 级	0.0951626	0	0.904837	0	0	0	0
2 级	0.00467884	0.0904837	0	0.904837	0	0	0
3 级	0.000154653	0.00452419	0.0904837	0	0.904837	0	0
4 级	0.000003847	0.000150806	0.00452419	0.0904837	0	0.904837	0
5 级	7.67×10⁻⁸	0.00000377	0.000150806	0.00452419	0.0904837	0	0.904837
6 级	1.27×10⁻⁹	7.54×10⁻⁸	0.00000377	0.000150806	0.00452419	0.0904837	0.904837

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

02标准答案

4 道有答案的题，上线前都算对了

每一条都写明答案的出处和允许的误差。点“代入这道题”，用题里的参数当场再算一次。

其中 2 条用的正是上面这次运行的参数，下面直接对照算出的数。

第 1 条
这次算出的数对得上
Loss Data Analytics 第 2 版例 15.4.2、15.4.3：巴西系统 λ = 0.1，平稳时 6 级占 0.8894，平均保费 656.5
参数每年的期望出险次数 λ 0.1 次/年奖惩系统巴西：7 级，无出险升 1 级，每次出险降 1 级（−1/+1）其余用默认值
项标准答案这次算出
平稳时的平均保费mean_stationary 656.5 656.52297
平稳概率表 stationary · 第 7 行 0.8894 0.88948402
允许误差 0 + 0.0002×|答案|
上面这次运行用的就是这道题的参数

项	标准答案	这次算出
平稳时的平均保费mean_stationary	656.5	656.52297
平稳概率表 stationary · 第 7 行	0.8894	0.88948402

第 2 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 15.4.4（表 15.4）：马来西亚系统，λ = 0.1，平均保费 625.5、598.7、580.6、570.6、565.8；平稳分布 π₀ = 1 − e^{−0.1}，π₅ = e^{−0.5}

参数每年的期望出险次数 λ 0.1 次/年奖惩系统马来西亚：6 级，无出险升 1 级，出险回到 0 级（−1/Top）其余用默认值

项	标准答案	平台算出
平均保费（元）表 evolution · 第 1 行	625.5	625.54812
平均保费（元）表 evolution · 第 2 行	598.7	598.71872
平均保费（元）表 evolution · 第 3 行	580.6	580.61596
平均保费（元）表 evolution · 第 4 行	570.6	570.59475
平均保费（元）表 evolution · 第 5 行	565.8	565.80169
平稳概率表 stationary · 第 1 行	0.095162582	0.095162582
平稳概率表 stationary · 第 6 行	0.60653066	0.60653066

说明：书里的保费取一位小数。例 15.4.6 有一处把 π₅ 写成 0.6064，闭式解是 e^{−0.5} = 0.60653

允许误差 0.06

第 3 条

平台算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 15.4.6：马来西亚系统的总变差 0.6096、0.3941、0.2252、0.0958、0

参数每年的期望出险次数 λ 0.1 次/年奖惩系统马来西亚：6 级，无出险升 1 级，出险回到 0 级（−1/Top）其余用默认值

项	标准答案	平台算出
总变差表 evolution · 第 1 行	0.6096	0.60983637
总变差表 evolution · 第 2 行	0.3941	0.39433057
总变差表 evolution · 第 3 行	0.2252	0.22530369
总变差表 evolution · 第 4 行	0.0958	0.095861243
总变差表 evolution · 第 5 行	0	3.33067e-16

说明：不取整的值是 0.60984、0.39433、0.22530、0.09582。书里用了取到 4 位小数的平稳分布（π₅ 写成 0.6064），第 1 年差 0.0002

允许误差 0.0005

第 4 条

这次算出的数对得上

Loss Data Analytics 第 2 版例 15.4.5、15.4.7（表 15.4）：巴西系统第 1、2、10 年平均保费 766.9、737.6、657.7；总变差 1.2617、0.4362、0.0232

参数每年的期望出险次数 λ 0.1 次/年奖惩系统巴西：7 级，无出险升 1 级，每次出险降 1 级（−1/+1）其余用默认值

项	标准答案	这次算出
平均保费（元）表 evolution · 第 1 行	766.9	766.86527
总变差表 evolution · 第 1 行	1.2617	1.2619181
平均保费（元）表 evolution · 第 2 行	737.6	737.59736
总变差表 evolution · 第 5 行	0.4362	0.43625285
平均保费（元）表 evolution · 第 10 行	657.7	657.74329
总变差表 evolution · 第 10 行	0.0232	0.023141818

说明：书里保费取一位小数、总变差取 4 位小数

允许误差 0.06

上面这次运行用的就是这道题的参数

03代码

同一段代码，智能体也在用

这是上面这次运行的代码，参数和页面上的一样。智能体在“运行分析”时调用的是同一个函数。

参数：8 个，和上面这次运行相同

运行的代码Python 14 行816 毫秒

1import json2from wi_actuarial.methods.bonus_malus import bms34result = bms.bms(5    system="brazil",6    n_classes=6,7    penalty=1,8    relativities=[100, 90, 80, 70, 60, 50],9    lam=0.1,10    base_premium=1000,11    initial="uniform",12    years=20,13)14print(json.dumps(result, ensure_ascii=False))

开源库scipy1.17.1· BSD numpy2.4.6· BSD-3-Clause

01当场运行

改一个参数，当场重算

正在用默认参数运行，计算量大的方法最多要 20 秒。

04出处和说明

公式从哪里来，有什么限制

列出参考的教材、论文和考试公式条目。方法的限制和实现上的说明也写在这里。

参考

Loss Data Analytics 第 2 版（Frees 等，CC BY 4.0）第 15 章 Experience Rating using Bonus-Malus：15.3–15.4
Lemaire (1995) Bonus-Malus Systems in Automobile Insurance

这个方法算什么

由等级、升降规则和泊松出险频率建转移矩阵，算平稳分布、平稳时的平均保费、逐年的平均保费和总变差距离。

说明和限制

0 级是新保单的起始级（保费最高），没有出险升一级。出险次数服从泊松分布，每张保单每年的 λ 相同。
书里的逐年平均保费和总变差按“从每一级出发的平均”计算，即起始分布是各级均匀。新保单都从 0 级出发时，选“全部从 0 级出发”。

数据

没有用数据：按输入的参数计算

开源库和版本

scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算

05同族的方法

奖惩系统，还有 2 个方法

同一个方法族里的其他方法。在智能体里，用一句话就能调用这些方法。

在智能体里这样问“按奖惩规则，保单一年后在各级的概率是多少？长期各级占多少，平均保费稳定在多少，要几年才稳定？”