泊松 GAM：驾驶人年龄的平滑曲线和 GLM 的分段比较

参考

• Wood：Generalized Additive Models: An Introduction with R（第 2 版，2017）4.2 惩罚回归样条，5.3 P 样条，6.2 GCV/UBRE，6.10 后验区间
• Eilers、Marx (1996) Flexible smoothing with B-splines and penalties, Statistical Science 11(2)
• Wood (2011) Fast stable restricted maximum likelihood and marginal likelihood estimation of semiparametric generalized linear models, JRSS B 73(1)
• Wüthrich、Merz：Statistical Foundations of Actuarial Learning and its Applications（2023）第 3.3 节 GAM

覆盖的考试公式

• REG-018多项式、交互项与样条（平滑样条、GAM）PAMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

在车险演示数据的训练集上拟合 ln μ = ln e + β₀ + 车型 + 地区 + s(年龄)，s 是等距结点的三次 B 样条加差分罚（P 样条），平滑参数 λ 用 UBRE（AIC）或 LAML 选。也可以把 GLM 的预测作偏移，只加 s(年龄)，看 GLM 还漏了什么（GAM 边际提升）。给出年龄曲线（带 95% 区间）和设定的真值、GLM 的分段，测试集上的偏差和基尼系数，以及准则随 λ 的曲线。

说明和限制

• 可识别性：s(年龄) 在训练集上按风险暴露加权的和为 0，所以截距是"平均年龄"的水平。曲线画的是 exp(s(a))，也就是相对平均年龄的倍数。
• 差分罚的阶数 d = 2 时 λ → ∞ 把 s 压成直线（模型变成年龄是线性项的 GLM）；d = 1 时压成常数（模型里没有年龄）。
• UBRE 在 φ 已知（泊松 φ = 1）时是 AIC 的缩放。LAML 是对 λ 的边际似然的 Laplace 近似（Wood 2011）。两者通常选出相近的 λ。
• 95% 区间用贝叶斯后验的协方差 (XᵀWX + S_λ)⁻¹（Wood 2017 6.10），只反映 s 的不确定性。
• GLM 的对照模型是 glm.lift_gini 的模型 A（年龄段、车型、地区 3 个因子），测试集和偏差、基尼系数的口径都相同。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算