加性模型（正态 GAM）：多个平滑项、GCV 和 REML

参考

• Wood：Generalized Additive Models: An Introduction with R（第 2 版，2017）4.2 惩罚回归样条，5.3 P 样条，6.2 GCV/UBRE，6.10 后验区间
• Eilers、Marx (1996) Flexible smoothing with B-splines and penalties, Statistical Science 11(2)
• Wood (2011) Fast stable restricted maximum likelihood and marginal likelihood estimation of semiparametric generalized linear models, JRSS B 73(1)
• James、Witten、Hastie、Tibshirani：An Introduction to Statistical Learning（第 2 版）7.5 平滑样条，7.7 广义加性模型

覆盖的考试公式

• REG-018多项式、交互项与样条（平滑样条、GAM）PAMAS-ICS1

公式条目按精算考试的公式表整理，编号和中文名是平台自己的。

这个方法算什么

拟合 y = β₀ + Σ_j s_j(x_j) + ε：每个选中的变量是一条 P 样条（等距结点的三次 B 样条加差分罚），其余的变量是线性项。平滑参数（每条曲线一个 λ）用 GCV 或 REML 一起选，给出每条曲线的等价自由度和偏效应（带 95% 区间）、残差平方和和两个准则的值。

说明和限制

• 每条曲线加了"在样本上的和为 0"的约束（Wood 2017 1.8.1），所以截距是 ȳ，曲线是偏效应。线性项先中心化。
• d = 2 时 λ → ∞ 把曲线压成直线，模型变成普通的线性回归；λ → 0 是不加罚的 B 样条回归。
• 这里一次解出所有系数（惩罚最小二乘），结果和 Hastie、Tibshirani 的回拟合（backfitting）算法收敛到的解相同。
• REML 把罚项看成随机效应的先验，通常比 GCV 稳定，不容易选出过小的 λ（Wood 2011）。

数据

看参数里选的数据：选平台的数据集时是真实数据或公开样例，填自己的数时只用输入的数。上面运行的输出里写明这一次用的是哪种。

开源库和版本

• scipy1.17.1BSD分布拟合、统计检验
• numpy2.4.6BSD-3-Clause数值计算